Лекция 1 (11.10.2023)

Краткий обзор основных уравнений мат. физики. Вывод уравнений, описывающих колебания струны и мембраны, и уравнений Пуассона и Лапласа в электростатике. Классификация диф. уравнений в частных производных 2-го порядка в математике.

Лекция 2 (18.10.2023)

Классификация задач мат. физики (граничные задачи, задача Коши, смешанные задачи). Методы решения задач мат. физики (метод Фурье, метод функции Грина, метод интегральных преобразований, перевод диф. уравнений к интегральным и их решение с помощью интегральных преобразований, численные методы). Понятие о методе Фурье. Задача Штурма-Лиувилля. Условие ее регулярности. Собственные значения и собственные функции. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля. Обобщенный ряд Фурье.

Лекция 3 (25.10.2023)

Лекция 4 (1.11.2023)

Лекция 5 (8.11.2023)

Решение сингулярной краевой задачи об обтекании шара несжимаемой безвихревой жидкостью. Решение задачи о поле точечного заряда вблизи проводящего шара, находящегося при нулевом потенциале. Задача о поле точечного заряда, помещенного вблизи шара, изготовленного из диэлектрика с заданной диэлектрической проницаемостью. Задача о потенциале внутри диэлектрической прослойки, разделяющей два металлических полушария, одно из которых имеет потенциал V(верхнее), а другое – нулевой потенциал (нижнее). Некоторые задачи мат. физики с непрерывным спектром собственных значений. Задача о полупространстве с заданным на границе потенциалом, зависящим от одной координаты (плоская задача).

Лекция 6 (29.11.2023)

Вывод уравнения теплопроводности. Уравнение диффузии. Проникновение электромагнитного поля в проводник (вывод уравнения диффузии из уравнений Максвелла). Задача о распространении тепла в неограниченном стержне (продолжение решения задач мат. физики с непрерывным спектром собственных значений). О методах решения неоднородных задач мат. физики. Пример: плоская задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике.

Лекция 7 (6.12.2023)

Универсальный метод решения неоднородной задачи с неоднородными граничными условиями (метод Гринберга). Плоская задача электростатики о потенциале в полуполосе с неоднородными граничными условиями.

Лекция 8 (13.12.2023)

Обсуждение решения задачи о потенциале в полуполосе (см. лекция 7).
Метод Фурье в задачах с многими независимыми переменными. Задача о колебаниях круглой мембраны без предположения об осевой симметрии. Обсуждение задач, допускающих разделение переменных. Цилиндрические и сферические координаты. Уравнение Лапласа в тороидальных координатах и его общее решение. Метод функции Грина в решении задач мат. физики. Краткая биография Джорджа Грина.

Лекция 9 (20.12.2023)

Функция Грина первой краевой задачи (задачи Дирихле) для уравнения Пуассона.

Лекция 10 (27.12.2023)

Продолжение обсуждения метода функции Грина в решении задач мат. физики. Решение задачи о поле в полупространстве, на поверхности которого задано распределение потенциала. Обсуждение решения. Забегая вперед, решение этой же задачи с помощью метода виртуальных источников (распределение виртуальных источников вблизи поверхности полупространства вне его, получение граничного интегрального уравнения относительно неизвестной функции распределения источников, решение уравнения с помощью двумерного преобразования Фурье).
Обсуждение тензора Грина упругой изотропной среды и источников упругого поля (точечных, линейных, дислокаций, дисклинаций, включений). Основная характеристика источника – собственная деформация. Формула для расчета упругих полей источников на основании тензора Грина и собственной деформации (без вывода). Метод интегральных преобразований – третий аналитический метод решений задач мат. физики (в частности, диф. уравнений второго порядка в частных производных). Интегральное преобразование Лапласа. Определение функции-оригинала. Примеры. Теорема единственности. Свойства преобразования Лапласа: 1. Свойство линейности. Примеры. 2. Теорема подобия. Примеры.

Лекция 11 (10.01.2024)

Интегральное преобразование Лапласа (продолжение). Свойства преобразования Лапласа: 1. Свойство линейности. 2. Теорема подобия. Гамма-функция. 3. Дифференцирование оригинала. Примеры. 4. Дифференцирование изображения. Примеры. 5. Интегрирование оригинала. Примеры. 6. Интегрирование изображения. Примеры. 7. Теорема смещения. Примеры. 8. Теорема запаздывания. Примеры. Изображение по Лапласу периодической функции. Изображения по Лапласу дельта-функции и ее производных. 9. Теорема умножения (теорема о свертке). Бета- функция Эйлера. Связь - и - функций Эйлера.

Лекция 12 (17.01.2024)

Свойства преобразования Лапласа (продолжение). 10. Повторная свертка и её образ. Объем n-мерного гипершара. Частные случаи гипершара. Примеры на нахождение изображений сверток. 11. Первая теорема разложения. Примеры.

Решение задач Коши с помощью преобразования Лапласа. Примеры.

Решение задачи о распространении тепла в неограниченном круговом цилиндре (осесимметричный случай) с помощью преобразования Лапласа. Обобщенное уравнение Бесселя нулевого индекса (порядка). Модифицированное уравнение Бесселя нулевого порядка. Модифицированная функция Бесселя первого рода и функция Макдональда .

Лекция 13 (24.01.2024)

Решение задач Коши с помощью преобразования Лапласа. Примеры (продолжение).
Интеграл Дюамеля. Примеры использования формулы Дюамеля при решении диф. уравнений.
Интегральные уравнения в задачах мат. физики (продолжение). Задача Коши и эквивалентные интегральные уравнения.

Лекция 14 (31.01.2024)

Интегральные уравнения в задачах мат. физики (продолжение). Задача о таутохроне и интегральное уравнение Абеля.
Некоторые классы сингулярных уравнений, допускающих точное решение:
1). Уравнение Вольтерра IIрода с разностным ядром. Решение с помощью преобразования Лапласа и формулы обращения Римана-Меллина (обратного преобразования Лапласа). Представление решения с помощью резольвенты.
2). Уравнение Вольтерра Iрода с разностным ядром. Решение с помощью преобразования Лапласа. Решение уравнения Абеля. Циклоида.
3). Уравнение Фредгольма IIрода с разностным ядром и с бесконечными пределами. Решение с помощью пары преобразований Фурье.

Уравнения Вольтерра и Фредгольма II рода. Однородные уравнения. Собственные значения ядра и собственные функции ядра.
Пример решения интегрального уравнения Вольтерра II и Iрода.
Система интегральных уравнений Вольтерра II рода с разностным ядром. Пример решения.

Лекция 15 (14.02.2024)

Уравнение Фредгольма II рода с бесконечными пределами и ядром, зависящем от разности переменных. Решение с помощью пары интегральных преобразований Фурье. Анализ сходимости решения.
Решение уравнение Фредгольма II рода с бесконечными пределами и ядром, зависящем от суммы переменных, с помощью пары интегральных преобразований Фурье.
Уравнение Фредгольма II рода на бесконечном промежутке с ядром, зависящем от произведения переменных, и сведение его к уравнению с ядром, зависящем от суммы переменных.
Решение интегральных уравнений II рода методом разложения в ряд по степеням параметра. Представление решений с помощью интегрированных (повторных) ядер.
Уравнение Фредгольма II рода с вырожденным ядром. Алгоритм решения. Пример.

Лекция 16 (21.02.2024)

Уравнение Фредгольма II рода с вырожденным ядром (продолжение). Построение резольвенты. Пример.
Общий случай уравнения Фредгольма. Альтернатива Фредгольма.
Уравнения с симметричным ядром и их связь с задачей Штурма-Лиувилля.

Лекция 17 (28.02.2024)

Уравнения с симметричным ядром и их связь с задачей Штурма-Лиувилля (продолжение).
Задача Штурма-Лиувилля, метод Лагранжа (метод произвольной постоянной) в решении диф. уравнения 2-го порядка, формула Остроградского -Лиувилля, однородное интегральное уравнение Фредгольма II рода с симметричным ядром.

Примеры решения неоднородных интегральных уравнений Вольтерра II рода и Фредгольма II рода разными способами. Пример нахождения собственных чисел и собственных функций однородного интегрального уравнения Фредгольма II рода. Пример сведения задачи Штурма-Лиувилля к однородному интегральному уравнению Фредгольма II рода.

Лекция 18 (13.03.2024)

Дополнительные методы в решении задач мат. физики.
Метод виртуальных источников в решении граничных задач (на примере задачи о электростатическом поле внутри/снаружи бесконечно длинного цилиндра с заданным потенциалом на боковой поверхности (осесимметричный случай)). Виртуальные источники – круговые заряженные нити. Интеграл Лифшица-Ханкеля и полные эллиптические интегралы. Граничное интегральное уравнение. Преобразование Фурье в решении граничного интегрального уравнения. Для сравнения: решение этой же задачи методом разделения переменных.

Лекция 19 (20.03.2024)

Метод виртуальных источников (поверхностных дефектов) в решении граничных задач теории дефектов упругого тела. Как рассчитать упругие поля необходимых для решения граничной задачи источников. Уравнение равновесия для стационарного случая. Тензор Грина упругой изотропной среды. Полные смещения источника с заданной собственной деформацией (вывод). Две рабочие формулы поля полных смещений для источников (дефектов) упругого поля разной размерности.
Типичные граничные задачи теории дефектов, имеющие аналитическое решение. Винтовая дислокация в упругом полупространстве, ее поля и энергия (плоская задача). Дилатационная нить в упругом полупространстве (метод виртуальных источников, граничное интегральное уравнение, интегральное преобразование Гильберта).

Лекция 20 (27.03.2024)

Замечания относительно интегрального преобразования Гильберта. Главное значение интеграла по Коши. Интегральные уравнения Фредгольма, разрешимые с помощью интегрального преобразования Гильберта. Продолжение решения задачи о дилатационной нити в упругом полупространстве.
Выбор виртуальных источников при решении граничной задачи.
Задача о винтовой дислокации в пластине конечной толщины (плоская задача). Метод виртуальных источников, система граничных интегральных уравнений, интегральное преобразование Фурье.

Лекция 21 (03.04.2024)

Плоские граничные задачи теории дефектов, решенный с помощью метода виртуальных источников (метода поверхностных дислокаций).
Пара интегральных преобразований Меллина. Взаимосвязь двустороннего преобразования Лапласа с преобразованием Меллина. Формула свертки для преобразования Меллина. Интегральные уравнения Фредгольма, разрешимые с помощью преобразования Меллина.
Пример такого интегрального уравнения. Обратное преобразование Меллина.
Кратко о вычетах. Ряды Тейлора и Лорана. Радиусы сходимости.

Лекция 22 (10.04.2024)

Продолжение темы о ряде Лорана. Область сходимости ряда Лорана. Примеры разложения функции в ряд Лорана в окрестности ее особых точек. Нули функции. Изолированные особые точки. Примеры.