Куpс лекций M.Г.Цейтлина для студентов, 1995

Куpс лекций M.Г.Цейтлина для студентов, 1995 - 1996гг.
Краткая программа спецкурсов по математическим методам физики.

Предполагается изложить часть нижеследующего материала (допускаются произвольные вариации), который является минимальным стандартом необходимым для понимания результатов, полученных в физике в последнюю четверть века.

Предполагаемые знания : книга В.И. Арнольда "Математические методы классической механики".

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

Многообразия,расслоения,когомологии:

многообразия, внешний анализ,векторные и главные расслоения, почти комплексные многообразия, пучки, комплексы,теория гомотопий,теории когомологий,теорема де Рама, когомологии с коеффициентами в пучке, К-теория, связности в главных расслоениях и римановы связности,эрмитовы и кэлеровы многообразия, комплексные линейные расслоения, теория Ходжа.

Характеристические классы:

классы Штифеля-Уитни, многообразия Грассмана, универсальное расслоение, Эйлеровский класс, препятствия, классы Чженя, классы Понтрягина, кобордизмы.

Связности,кривизна и характеристические классы.

Геометрия симплектических многообразий,

агранжева и гамильтонова механика, однородные симплектические многообразия

Геометрия поляризаций:

теорема Римана-Роха, поляризации в алгебрах Ли, спинорные структуры, метаплектические структуры.

ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ

Накрытия, экспоненциальное отображение, присоединенное представление, однородные многообразия.

Общая теория алгебр Ли:

представления, нильпотентные и разрешимые алгебры, формы Киллинга, подалгебры Картана и разложения по корневым подпространствам, универсальная обертывающая алгебра.

Полупростые алгебры Ли:

корни и веса, классификация простых алгебр Ли, классические простые алгебры Ли, компактные алгебры Ли, автоморфизмы алгебр Ли, разложение Картана, вещественные формы, разложение Ивасавы.

Корневые системы:

группы Вейля, аффинная группа Вейля, расширенные диаграммы Дынкина.

Неприводимые представления:

старшие веса,тензорные произведения представлений, формула характера, фундаментальные представления классических простых алгебр Ли (клиновые и спинорные).

Проективные представления :

проективные группы и проективные представления, теория Шура.

Метод орбит:

коприсоединенное представление групп Ли, однородные симплектические многообразия, унитарное представление на орбите, квантование (старое) гамильтоновых механических систем, орбиты и представления, характеры, меры Планшереля, теория Морса для орбит, полная интегрируемость.

БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ

Группы гладких отображений:

бесконечномерные группы Ли, группы диффеоморфизмов.

Центральные расширения:

расширения алгебр Ли, расслоение со слоем окружность.

Алгебры Каца-Муди и системы корней

Алгебры Вирасоро:

векторные поля на окружности, центральное расширение, представление, осцилляторная алгебра, осцилляторное представление, представление со старшим весом, алгебра Ли бесконечных матриц, бозонизация,клиновые и вертоксные операторы, орбиты: КП, Хирота, солитоны, детерминантная формула Каца: унитарность и вырожденность, конструкции Сугавары и ГКО.

Группы петель

как группы операторов в гильбертовом пространстве.

Грассманиан

Гильбертова пространства и детерминантное линейное расслоение.

Основное однородное пространство,

разложения Биркхофа и Брюа, голоморфные расслоения, Грассманово описание, пространства модулей векторных расслоений.

Представления

классификация, оператор Казимира, инфинитезимальное действие группы диффеоморфизмов, группы Гейзенберга.

Фундаментальное представление:

фермионное пространство Фока, двумерная теория поля.

Теория Бореля-Вейля

Спинорное представление:

алгебра Клиффорда, бесконечномерное спинорное представление.

Вертексные операторы:

действия на представлениях групп петель с положительной энергией.

Формула Вейля и формула Каца для характеров

От группы петель к уравнениям КдФ.

Гильбертов Грассманиан, детерминантное расслоение, тау-функция, метод Хироты, обобщенные КдФ и функции Бейкера, алгебраические кривые и конструкции Кричевера, рациональные кривые, функция Шура и тау-функция, тэта-функция и тау-функция.

ПУАССОНОЛОГИЯ

Симплектическая геометрия, пуассоновы многообразия, представление нулевой кривизны, иерархии симплектических структур, формальное вариационное исчисление, редукция Дринфельда- Соколова, КП-иерархия, грассманианы, тау- функция, алгебры Каца- Муди и Вирасоро в действии, W-алгебры, алгебры Ли- Пуассона, квантовые группы, уравнение Янга- Бакстера, алгебры Хопфа, некоммутативная геометрия, анализ на квантовых группах.

ФИЗИКА

Конформная инвариантность в теории поля, конформная теория поля, связь с алгеброй Вирасоро, модели статфизики, операторные произведения, аксиоматика, W-алгебры, матричные модели и связь с иерархиями, теория Флоера, инварианты Дональдсона и калибровочная теория, узлы и полиномы Джонса, теория Черна-Саймонса.

В качестве дополнений :

Гомоклинический хаос,КАМ теория,метод Мельникова.

Фаза Берри,падающая кошка.

Формула Дюйстермата-Экмана.

Симплектическая топология: от Арнольда до Флоера.

Теория индекса:от Атьи-Зингера до Бисмю и Фалтингса.

Спектральная геометрия: от барабана Марка Каца до Мелроуза.

ДОСТУПНАЯ ЛИТЕРАТУРА

H.Харт, В.Гийемин- Стенберг, Ф.Уорнер, Р.Уэллс, М.Гото- Ф.Гроссханс, Д.Хьюзмоллер, Р.Свитцер, Д.Мамфорд, Ф.Гриффитс- Дж.Харрис, Р.Хартсхорн, Л.Фаддеев- Л.Тахтаджан, Р.Бэкстер, А.Шварц, Дж.Милнор-Дж.Сташеф, Р.Ботт- Л.Ту, А.Фоменко- Д.Фукс, В.Кац, Э.Пресли- Г.Сигал, Ж.-П. Серр, Дж.Адамс, М.Грин- Дж.Шварц- Э.Виттен, А.Переломов, Д.Фрид- К.Уленбек, А.Ньюэлл, Д.Желобенко, М.Атья, Р.Пале, А.Лихтенберг- М.Либерман, Г.Заславский, А.Кириллов, В.Арнольд, Н.Джекобсон, Л.Бринк- М.Энно, а также серия: Итоги науки, Современные проблемы математики тома 1-100.

Куpс лекций M.Г.Цейтлина для студентов, 1995 - 1996гг. Краткая программа спецкурсов по математическим методам физики.