Изучается плоская нелинейная задача со свободной границей, описывающая установившиеся волны на поверхности идеальной, несжимаемой жидкости конечной глубины с учетом вихревого характера ее движения. В случае уединенной волны течение имеет следующие свойства: на обеих бесконечностях оно является однонаправленным, сдвиговым, закритическим потоком постоянной глубины, причем последняя отвечает заданной постоянной Бернулли исходной задачи. Эта математическая модель волн под действием силы тяжести важна для учета завихренности заданного вида при взаимодействии волн с течениями; из наблюдений следует, что именно такое поведение весьма распространено в природе.

Основные результаты:

1. Выведены и исследованы два интегро-диференциальных уравнения типа Бабенко для описания бифуркаций, вследствие которых на поверхности горизонтального безвихревого потока конечной глубины возникают нелинейные волны Стокса, а в результате ветвления бифуркационных кривых эти волны меняют свой профиль. Впервые численно получены соответствующие диаграммы, в том числе с множественным ветвлением, а также найдены профили волн для каждой из ветвей, включая волны экстремальной формы, имеющие угловые точки на гребнях. См. публикации: [⤤] и [⤤].

2. Доказано существование нового вида уединенных волн на поверхности потока с постоянной отрицательной завихренностью, главной особенностью которых является наличие точки стагнации (застоя) внутри области завихренности типа Кельвиновского «кошачьего глаза». Этот придонный вихрь симметричен относительно вертикали, проходящей через гребень волны. Рассмотренный тип движения жидкости наблюдается в природе. См. публикации: [⤤] и [⤤].

Иллюстрация линий тока завихренности типа «кошачий глаз».

Интересным явлением, предсказанным в рамках модели является наличие противотечений, которые отделены одно от другого так называемыми критическими слоями, причем для последних характерно наличие точек стагнации. Показано, что противотечение обязательно имеет место в случае, когда минимум профиля волны превосходит некоторое критическое значение. Кроме того, найдено ограничение на допустимые значения постоянной Бернулли. Найдены новые границы для максимумов и минимумов профилей волн, справедливые для всех их видов, в том числе и для бульбообразных волн, для которых вместо обрушения возможно стационарное распространение.