ipmash@ipme.ru | +7-812-321-47-78
пн-пт 10.00-17.00
Институт проблем машиноведения РАН ( ИПМаш РАН ) Институт проблем машиноведения РАН ( ИПМаш РАН )

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт проблем машиноведения Российской академии наук

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт проблем машиноведения Российской академии наук

Линейные задачи о волнах на поверхности воды

Заголовок(англ):
Linear water waves
Анонс статьи (англ):

Investigation of linear problems of surface wave theory

Волны на поверхности жидкости представляют собой широко распространенное физическое явление; математические задачи теории волн возникают в связи с важными практическими приложениями (прежде всего, расчетом гидродинамических нагрузок на погруженные тела). Изучаются задачи, описывающие в линейном приближении установившееся движение идеальной, тяжелой жидкости со свободной поверхностью в присутствии препятствий. Отыскание однозначно разрешимых постановок задач является одним из ключевых вопросов [⤤], зачастую требующим развития оригинальных математических методов; например, рассмотрение локализованных мод часто сводится к изучению точечных собственных значений на непрерывном спектре.

Основные результаты:

• Найдены условия единственности и разрешимости ряда задач, среди которых плоская задача о потоке жидкости над выступом дна [⤤], задача о поступательном движении тел в однородной [⤤] и двухслойной жидкости [⤤], задача о гармонических по времени колебаниях жидкости в присутствии фиксированных тел [⤤], [⤤] и препятствий [⤤], в том числе с учетом поверхностного натяжения [⤤], а также свободно плавающих тел [⤤], [⤤], [⤤].

• Изучен вопрос о дополнительных условиях, превращающих задачу Неймана–Кельвина в однозначно разрешимую, для тел, либо пересекающих свободную поверхность, либо поверхность раздела двух слоев разной плотности [⤤], [⤤], [⤤].

• Для задачи о поступательном движении тел и задачи о колебаниях жидкости в присутствии тел найдены критерии однозначной разрешимости. Разработаны численные алгоритмы и впервые обнаружены примеры неединственности с полностью погруженными телами [⤤][⤤], [⤤], [⤤], [⤤], [⤤] (в том числе с учетом поверхностного натяжения и в двухслойной жидкости). Показана связь примеров неединственности с аномально большими значениями волнового сопротивления. На рисунке показано тело, для которого существует пример неединственности, и картина линий тока [⤤].

• Получен ряд примеров неединственности для тел, частично погруженных в жидкость или пересекающих интерфейс. Использована обратная процедура: для заданного потенциала скоростей разыскивается геометрия, для которой он является решением однородной задачи [⤤], [⤤]. Существенный прогресс был достигнут в задачах о совместных колебаниях жидкости и свободно плавающих тел [⤤], [⤤] и [⤤]. В построенных примерах локализации мод [⤤] погруженная часть тел осесимметрична, а тела неподвижны, хотя и плавают свободно, — на рисунке показан пример такой структуры.

• Рассмотрена задача о колебаниях жидкости в присутствии частично погруженных тел в случае, когда жидкость ограничена сверху плавающей ледяной шугой. Установлено существование локализованных мод колебаний и построены примеры тел, поддерживающих такие моды с конечной энергией. С другой стороны, удалось найти условия отсутствия локализованных мод [⤤], [⤤].

• Рассмотрены задачи о поступательном движении тел и о колебаниях тел в двухслойной жидкости. При этом важной особенностью является более сложная картина гидродинамических нагрузок в связи с наличием внутренних волн, связанных с явлением «мертвой воды». Изучены вопросы однозначной разрешимости, найдены примеры неединственности, исследованы свойства решений, включая гидродинамические нагрузки и их возможные особенности: см. [⤤], [⤤], [⤤], [⤤], [⤤] (задача о движении), [⤤], [⤤], [⤤] (задача о колебаниях).

• Для трехмерной задачи о движении тел в жидкости со свободной поверхностью (задача о корабельных волнах) разработаны алгоритмы быстрого вычисления функции Грина и производных. С этой целью развиты методы вычисления интегралов от быстро и негармонически осциллирующих функций по полубесконечному интервалу [⤤].

• Изучены собственные моды колебаний жидкости со свободной поверхностью в вертикальных круговых и кольцевых цилиндрических контейнерах. Анализировался эффект нарушения осевой симметрии из-за наличия радиальных перегородок, идущих вертикально от свободной поверхности к дну. Показано, что наличие перегородки приводит к существенному изменению свойств собственных значений и собственных функций [⤤].

Текст статьи (англ):

Waves on the surface of a fluid are a common physical phenomenon; mathematical problems of wave theory arise in connection with important practical applications (first of all, calculation of hydrodynamic loads on submerged bodies). Problems are studied that describe in a linear approximation the steady motion of an ideal, heavy fluid with a free surface in the presence of obstacles. Finding uniquely solvable statements is one of the key issues [⤤] , often requiring development of original mathematical methods; for example, consideration of localized (trapped) modes is often reduced to studying point eigenvalues embedded into continuous spectrum.

Main results:

• Conditions for the uniqueness and solvability of a number of problems are found, including the plane problem of fluid flow over a bottom obstacle [⤤] , the problem of forward motion of bodies in a homogeneous [⤤] and two-layer fluid [⤤] , the problem of time-harmonic oscillations of a fluid in the presence of fixed bodies [⤤] , [⤤] and obstacles [⤤] , taking into account surface tension [⤤] , as well as freely floating bodies [⤤] , [⤤] , [⤤] .

• The question of supplementary conditions that turn the Neumann–Kelvin problem into a uniquely solvable one is studied for bodies that either cross the free surface or the interface between two layers of different density [⤤] , [⤤] , [⤤] .

• For the problem of the forward motion of bodies and the problem of fluid oscillations in the presence of bodies, criteria for unique solvability are found. Numerical algorithms are developed and, for the first time, examples of non-uniqueness with completely submerged bodies [⤤] , [⤤] , [⤤] , [⤤] , [⤤] , [⤤] are found (including taking into account surface tension and in a two-layer liquid). The connection of examples of non-uniqueness with anomalously large values of wave resistance is shown. The figure shows a body for which there is an example of non-uniqueness, and a picture of streamlines [⤤].

• A number of examples of non-uniqueness for bodies partially submerged in a fluid or crossing the interface are obtained. The inverse procedure is used: for a given velocity potential, a geometry is sought for which it is a solution to the homogeneous problem [⤤] , [⤤]. Significant progress has been made in problems of coupled oscillations of a fluid and freely floating bodies [⤤] , [⤤] and [⤤]. In the constructed examples of mode localization [⤤] , the submerged part of the bodies is axisymmetric, and the bodies are motionless, although they float freely — the figure shows an example of such a structure.

• The problem of fluid oscillations in the presence of partially submerged bodies is considered in the case when the fluid is bounded from above by a floating brash ice. The existence of localized oscillation modes is established, and examples of bodies supporting such modes with finite energy are constructed. On the other hand, we find conditions for the absence of localized modes [⤤] , [⤤].

• The problems of forward motion of bodies and vibrations of bodies in a two-layer fluid are considered. An important feature is a more complex picture of hydrodynamic loads due to the presence of internal waves associated with the phenomenon of "dead water". Question of unique solvability is studied, examples of non-uniqueness are found, properties of solutions are investigated , including hydrodynamic loads and their possible features , [⤤] , [⤤] (the problem of oscillations).

• For the three-dimensional problem of the motion of bodies in a fluid with a free surface (the problem of ship waves) , algorithms for fast calculation of the Green's function and derivatives have been developed. For this purpose, methods have been developed for calculating integrals of rapidly and non-harmonically oscillating functions over a semi-infinite interval [⤤] .

• Eigenmodes of fluid oscillations with a free surface in vertical circular and annular cylindrical containers are studied. The effect of violation of axial symmetry due to the presence of radial baffles going vertically from the free surface to the bottom was analyzed. It is shown that the presence of a baffles results in a significant change in the properties of eigenvalues and eigenfunctions [⤤].

6
Используя этот сайт, вы соглашаетесь с тем, что мы используем файлы cookie.