Асимптотика решения задачи Коши с локализованными начальными условиями для уравнения волнового типа с временной дисперсией.

С.А. Сергеев (по результатам совместной работы с С.Ю. Доброхотовым)

Во многих физических задачах, описывающих распространение волн, имеют место дисперсионные эффекты, как пространственные, так и временные. В таких случаях описывающие их уравнения, связывающие временную частоту и пространственные импульсы, оказываются неоднородными по таким переменным. При этом часто такие соотношения имеют даже не полиномиальную форму. Пример c временной дисперсией дают уравнения Максвелла в ситуации с быстроменяющимися электрическим и магнитным полями, тогда вторая производная по времени $t$ заменяется на функцию от такой производной (псевдодифференциальный оператор). В докладе будут построены асимптотические формулы решения задачи Коши с локализованными начальными данными для уравнения$g^2(-ih d/dt)u=-h^2<\nabla,\, c^2(x)\nabla> u$ c переменной скоростью и малым параметром, характеризующим быстрые осцилляции распространяющихся волн. Одно из главных используемых соображений состоит в том, что конструктивные асимптотики решения задач такого типа представляются функциями, заданными параметрически, причем соответствующими параметрами являются естественные координаты на лагранжевых многообразиях, определяющих эти асимптотики. При этом в отличие от задач с пространственной дисперсией соответствующее лагранжево многообразие задается в фазовом ространстве, содержащем время $t$ и соответствующую сопряженную импульсную координату--частоту $\omega$.