Квазиклассическое приближение в задаче о построении асимптотик ортогональных и совместно ортогональных полиномов

А.В. Цветкова, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Развивается метод построения асимптотики решения разностных уравнений, основанный на квазиклассическом приближении. Идея метода заключается в сведении разностного уравнения к псевдодифференциальному. Особенность и основная сложность задачи заключается в том, что символ соответствующего псевдодифференциального оператора комплекснозначный. Развиваемый подход позволяет избавиться от комплексности и применить теорию канонического оператора Маслова, основанную на изучении возникающего лагранжева многообразия. Это позволяет получать глобальные асимптотики для широкого класса ортогональных полиномов в терминах функций Эйри и Бесселя.

Также подход можно развить и на случай совместно ортогональных полиномов (полиномов с двумя индексами). В частности, получена глобальная асимптотика для совместно ортогональных полиномов Эрмита.

Доклад основан на совместных работах с А.И. Аптекаревым, С.Ю Доброхотовым и Д.Н. Туляковым.