Асимптотика объемных волн и распределение энергии поверхностного источника в упругом анизотропном полупространстве

Глушков Е.В., Глушкова Н.В.

Институт математики, механики и информатики

Кубанский государственный университет, г. Краснодар, evgnvg@mail.ru

Известно, что точное решение краевой задачи о возбуждении поверхностной нагрузкой установившихся гармонических колебаний в слоистом упругом полупространстве или пакете слоев может быть выписано в виде контурных интегралов обратного преобразования Фурье от произведения Фурье-символов матрицы Грина рассматриваемой структуры и поверхностных напряжений (источника). Формально численное интегрирование позволяет получить здесь такие же количественные результаты (амплитудно-частотные характеристики), как и прямые численные методы, базирующиеся на сеточной аппроксимации (например МКЭ), но только для суммарного поля. Выделение волн различного типа (поверхностные, объемные, вытекающие и др.) требует специальной, иногда весьма сложной, постпроцессорной обработки полученного массива данных.

С другой стороны, асимптотика этих интегралов дает явные физически наглядные представления для отдельных возбуждаемых волн, значительно снижая численные затраты на их анализ. Причем, в отличие от собственных решений модального разложения, их амплитуда однозначно определяется параметрами источника и среды. Такой подход хорошо зарекомендовал себя в случае изотропных материалов, в то время как анизотропия упругих свойств, естественно, усложняет как сам вывод интегрального представления (требуются эффективные алгоритмы вычисления элементов матрицы Грина), так и поиск особых точек, дающих главный вклад в асимптотику. Для бегущих волн, моделируемых вкладом вычетов в полюсах подынтегрального выражения, к настоящему времени эти проблемы достаточно успешно преодолены, а вот асимптотика объемных волн, которая описывается вкладом стационарных точек, была получена и численно апробирована совсем недавно при решении задач, возникающих при ультразвуковом зондировании образцов с сильной анизотропией упругих свойств, таких как композитные углепластики или жаростойкие монокристаллические сплавы.

В докладе планируется обсудить общую схему вывода, компьютерную реализацию и верификацию асимптотических представлений, проиллюстрировав их численными примерами для образцов с различными типами анизотропии. Кроме того, использование данных интегральных и асимптотических представлений позволяет изучать влияние анизотропии на количество волновой энергии, отдаваемой источником в подложку, и ее распределение между волнами различных типов и по направлениям излучения (диаграммы направленности). Эти вопросы также планируется обсудить и проиллюстрировать численными примерами.

Работа выполняется при поддержке Российского научного фонда, проект № 24-11-00140.