Асимптотика типа шепчущей галереи в спектральной задаче оператора Лапласа в полнотории вращения.

Сергей Андреевич Сергеев

Аннотация.

Рассматривается спектральная задача для оператора Лапласа в полнотории вращения с условиями Дирихле на границе. Полноторие построено путем вращения выпуклой области, ограниченной гладкой кривой. Мы ставим задачу о построении асимптотических собственных функций при больших значениях собственных чисел. Эта задача может быть решена с помощью квазклассического анализа.

В нашей постановке трехмерное уравнение может быть сведено к двумерному в выпуклой области. При этом в двумерной задаче присутствует два различных масшатаба - вдоль кривой, ограничивающей область, и по нормали к ней. Это позволяет применить процедуру адиабатического приближения в операторной форме и свести двумерную задачу к двум одномерным.

Адиабатическое разделение переменных позволяет представить асипмтотику задачи в виде ряда по степеням величины, обратной к собственному числу оператора Лапласа. Мы ограничиваемся вычислением нескольких первых членов этого ряда, что приводит к уравнению Эйри вдоль нормали и к возмущенному уравнению Шредингера вдоль кривой. Для уравнения Шредингера можно выписать явным образом асимптотику его решения. В итоге мы получаем аналитическую формулу для квазиклассического приближения собственных функций оператора Лапласа и для приближения спектра исходной задачи. Построенная таким образом функция будет локализована в некоторой окрестности границы полнотория.